前言
SVM比较详细的介绍可以参考
：支持向量机SVM
首先简要回顾一下SVM算法：如下图所示，寻找一个超平面划分数据，使得两类数据到超平面的距离均大余等于1/||w||。
其数学描述为：
其中距离等于1/||w||的样本点称为“支持向量”，并且最终模型（参数w）仅有支持向量决定。
正则化系数C
实际使用时，并不能保证所有数据被完美划分，例如在-例中混杂了一个＋例，标准的SVM就无法求解，如下图所示。
另外，即使数据可以完美划分开，还需要考虑过拟合的问题，即如下图所示，如果完全拟合训练数据，非要将所有正例和反例分开，则分界线为橙色，当需要识别新样本时（紫色x），明显它更符合负例，但是会被划分为正例，即发生过拟合了。
有关机器学习中过拟合及解决方法的问题可以参考：机器学习中的偏差和方差
如果，引入正则化系数C，可以理解允许划分错误的权重（越大，越不允许出错），当C较小时，允许少量样例划分错误，此时分界线为黄色，更加合理。此时对应的SVM方程为：
当ξ=0时，限制条件与以前相同，即划分正确；当0<ξ<1时，样本距离超平面距离小于1/||w||，但此时会在代价函数中有惩罚；当ξ>1时，代表样本越过超平面，划分错误，惩罚会更大。此时模型（参数w）由边界上的样本点及ξ!=0的样本点共同决定。
代码
本实例绘制了在不同正则化系数C下，SVM选择最佳分界线。随机生成160个数据，80个正例，80个反例。选择两个C，为10和0.05，分别代表非正则化/正则化。实际上标准SVM对应C=无穷。划分结果如下，画圈的代表支持向量：
从划分结果可以看出，当C=0.05时，此时允许训练误差更大，支持向量更多，同时正负例的间隔也更大。
代码
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import svm
# we create 160 separable points
np.random.seed(0)
X = np.r_[np.random.randn(80,2) - [2,2],np.random.randn(80,2) + [2,2]]
Y = [0] * 80 + [1] * 80
# figure number
fignum = 1
# fit the model
for name,penalty in (('unreg',10),('reg',0.05)):
clf = svm.SVC(kernel='linear',C=penalty) #线性核函数
clf.fit(X,Y)
# get the separating hyperplane
w = clf.coef_[0]
a = -w[0] / w[1]
xx = np.linspace(-5,5)
yy = a * xx - (clf.intercept_[0]) / w[1] #超平面
# plot the parallels to the separating hyperplane that pass through the
# support vectors
margin = 1 / np.sqrt(np.sum(clf.coef_ ** 2))
yy_down = yy + a * margin #下平面
yy_up = yy - a * margin #上平面
# plot the line,the points,and the nearest vectors to the plane
plt.figure(fignum,figsize=(4,3))
plt.clf()
plt.plot(xx,yy,'k-') #实线
plt.plot(xx,yy_down,'k--') #虚线
plt.plot(xx,yy_up,'k--')
plt.scatter(clf.support_vectors_[:,0],clf.support_vectors_[:,1],s=80,facecolors='none',zorder=10) #标注支持向量
plt.scatter(X[:,X[:,c=Y,zorder=10,cmap=plt.cm.Paired) #绘点
plt.axis('tight')
x_min = -4.8
x_max = 4.2
y_min = -6
y_max = 6
XX,YY = np.mgrid[x_min:x_max:200j,y_min:y_max:200j]
Z = clf.predict(np.c_[XX.ravel(),YY.ravel()])
# Put the result into a color plot
Z = Z.reshape(XX.shape)
plt.figure(fignum,3))
plt.pcolormesh(XX,YY,Z,cmap=plt.cm.Paired)
plt.xlim(x_min,x_max)
plt.ylim(y_min,y_max)
title = 'C = ' + str(penalty)
plt.title(title)
plt.xticks(())
plt.yticks(())
fignum = fignum + 1
plt.show()
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