上一篇博客中讲了图的基本概念及如何存储，下面学习图的遍历及最小生成树的问题。
图的遍历
广度优先搜索(Breadth First Search,BFS)
举一个例子：
假设我们都从顶点A开始遍历，左侧为有向图，它的广度优先搜索结果为：A D B E C；右侧为无向图，它的广度优先搜索结果为：A E D B C。
广度优先搜索类似于树的层序遍历，在实现的时候，需要借助队列来实现。
//我们使用一个数组来区别一个顶点是否已经遍历过，遍历过的设置为true。
void BFS(const V& v)
{
queue<int> q;
vector<bool> visited(_v.size(),false);//遍历过的置为true，默认为false
size_t index = GetIndex(v);
q.push(index);
_BFS(q,visited);
for (size_t i = 0; i < _v.size(); i++)//为什么要这么写？
//假如我们的图中的一个顶点与其他的顶点没有关系，即两个顶点之间没有边，
//那么如果我们不这么写，就会漏掉这个顶点。
//因此，我们的处理方法是 先遍历一次，然后在看哪个点没有遍历，
//如果有点没遍历，那么将该点push到队列中遍历。
{
if (visited[i] == false)
{
q.push(i);
_BFS(q,visited);
}
}
cout << endl;
}
void _BFS(queue<int>& q,vector<bool>& visited)
{
while (!q.empty())
{
size_t index = q.front();
q.pop();
if (visited[index] == true)
continue;
cout << _v[index] << " ";
visited[index] = true;
pNode pCur = _linkEdges[index];
while (pCur)
{
if (visited[pCur->_dst] == false)
q.push(pCur->_dst);
pCur = pCur->_pNext;
}
}
}
深度优先搜索(Depth First Search)
还是上面图中的两个图为例：
上图中，左侧为有向图，红色数字表示遍历的顺序，箭头表示遍历时是怎么走的，所以它的深度优先搜索结果为：A D E B C ， 右侧为无向图，深度优先搜索的结果为：A D E C B。可以发现，遍历的结果并不是唯一的，跟你的图中边的存储有关系。
void DFS(const V& v)
{
size_t index = GetIndex(v);
vector<bool> visited(_v.size(),false);
_DFS(index,visited);
for (size_t i = 0; i < _v.size(); i++)
{
if (visited[i] == false)
_DFS(i,visited);
}
cout << endl;
}
void _DFS(int index,vector<bool>& visited)
{
cout << _v[index] << " ";
visited[index] = true;
pNode pCur = _linkEdges[index];
while (pCur)
{
if (visited[pCur->_dst] == false)
_DFS(pCur->_dst,visited);
pCur = pCur->_pNext;
}
}
最小生成树
连通图中的每一颗生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不必再连通；反之，在其中假如一条边，就会形成回路。
若连通图由n个顶点构成，则生成树必有n个顶点和n-1条边。最小生成树是各边权值之和最小的生成树，因此，构成最小生成树有以下三点需要遵守：
- 只能使用图中的边来构成最小生成树
- 只能使用恰好n-1条边来链接图中的n个顶点
- 选用的n-1条边不嫩个构成回路
构成最小生成树有两种算法：Kruskal算法和Prim算法。
Kruskal算法
任给一个有n个顶点的连通网络N，首先构造一个有n个顶点组成，不含任何边的图G，其中，每个顶点自成一个连通分量，不断从N的边中找最小的一条，若该边的两个顶点来自不同的连通分量，则将此边假如到G中。如此重复，直至所有顶点在同一个连通分量上为止。
我们还是举一个例子：
- 新建一个图，只有顶点，没有边
- 将原图中边的权值，从小到大排序
- 我们有5个顶点，因此需要4条边
- 借助之前写过的并查集，如果两个顶点不在一个集合，那么将该边假如到新图中；否则，继续看下一条边。
具体布置如下：
代码：
typedef Graph<V,W,IsDirect> Self;
typedef Node LinkEdge;
Self Kruskal()
{
Self g;
g._v = _v;//新建一个图
g._linkEdges.resize(_v.size());
vector<LinkEdge*> edges;
for (size_t i = 0; i < _v.size(); i++)
{
LinkEdge* pCur = _linkEdges[i];
while (pCur)
{
if (IsDirect || (!IsDirect && pCur->_src < pCur->_dst))//保存边的权值。
//无向图只需要保存一次，保存src<dst
edges.push_back(pCur);
pCur = pCur->_pNext;
}
}
class Compare
{
public:
bool operator()(const LinkEdge* left,const LinkEdge* right)
{
return left->_weight < right->_weight;
}
};
sort(edges.begin(),edges.end(),Compare());//将保存的边的权值，从小到大排序
size_t count = _v.size() - 1;//从前往后取n-1条边
UnionFind u(_v.size());
for (size_t i = 0; i < edges.size(); i++)
{
LinkEdge* pCur = edges[i];
size_t srcRoot = u.FindRoot(pCur->_src);
size_t dstRoot = u.FindRoot(pCur->_dst);
if (srcRoot != dstRoot)//若两个顶点不在同一个集合，才将边加上
{
g._Add(pCur->_src,pCur->_dst,pCur->_weight);
if (!IsDirect)//false为无向图
g._Add(pCur->_dst,pCur->_src,pCur->_weight);
u.Union(pCur->_src,pCur->_dst);//合并
count--;
if (count == 0)
break;
}
}
if (count > 0)
cout << "最小生成树非法" << endl;
return g;
}
Prime算法
1. 给出一个只有顶点的空图； 2. 权值最小的10，将10加入到生成树中； 3. 原图中A，B相关联的边权值最小的是30，将30加入到生成树中； 4. 原图中A，B，E有关的边，权值最小的是30，将30加入到生成树中； 5. 以此类推，直至所有顶点连通。