正则化（regularization）技术是机器学习中十分常用的技术，它在不同的模型或者情景中以不同的名字出现，比如以L2正则化为例，如果将L2正则化用于linear regression，那么这就对应了ridge regression；如果将L2正则化用于神经网络（neural network），那么L2对应为权重衰减（weight decay）。
正则化的作用实际上就是防止模型过拟合，提高模型的泛化能力。正则化的种类有很多，这里主要介绍在工程中用得较多的两类正则化，一个是L1正则化，另一个则是L2正则化。为了配合阐述，本文用linear regression的正则化作为例子来贯穿全文。
当我们用linear regression在训练数据集上训练模型时，我们定义一个最优化目标函数：
(1)
式中(x(i),y(i))为训练数据，w为线性模型的参数向量，为了使得模型能够充分拟合训练样本点，我们希望上述目标函数的值尽可能小，即：
（2）
但是由于实际中的训练数据量往往并不大，如果让模型完美拟合训练数据的话，很可能造成模型过拟合，从而使得模型的泛化能力较差。这一点可以从得到的模型参数向量w的各个分量中看出，其中大部分分量的绝对值都非常大，这种现象直观表现在图上就是曲线（曲面）不光滑，凹凸不平，很复杂；相反，如果w的各个分量的绝对值都很小，在0附近，那么曲线（曲面）就会显得很平滑。很显然，在机器学习中，我们更希望拟合出的曲线（曲面）更为平滑，因为这样的曲线（曲面）是具有较好的泛化能力的。那么如何将w各个分量的绝对值降低呢？这就要用到正则化技术了。在用正则化技术估计参数w时，引入了我们对参数的先验认知，即我们认为参数的绝对值应该很小。
正则化技术就是使得式（2）的值尽可能小，与此同时，要保证||w||的值也尽可能小，即：
（3）
在上式中，优化函数的目标变成了两个，w的取值不仅要使得L(w)的值最小，也要使得||w||的值最小。从上式我们可以看出，一方面要使得L(w)的取值最小，必然w的绝对值会取到很大，这样模型才能完美拟合训练样本点；另一方面，当w的绝对值很大时，||w||的值又会变得很大，因此为了权衡，只有使得w取值适当，才能保证式（3）的值取到最优。这样得到的曲线（曲面）比式（2）得到的曲线（曲面）平滑很多，因此具有泛化能力。值得注意的是，式中的t是L(w)与||w||之间的一个Trade-off，如果t过大，那么表明对模型参数w的惩罚越狠，这样得到的模型处于欠拟合状态，如果t过小，那么表明对模型参数w的惩罚越小，这样得到的模型处于过拟合状态，只有选择合适的t，才能使得到的模型具有很好地泛化能力。关于如何选择t的值，工程上一般采取交叉验证的方式来确定一个较合理的t。
我们先来看L2正则化。
（4）
式中，||w||2为w的2范式，平方是为了求解的方便。
我们来看看L2正则化的性质。
1.从式（4）中可以看出，L2正则化对于绝对值较大的权重予以很重的惩罚，对于绝对值很小的权重予以非常非常小的惩罚，当权重绝对值趋近于0时，基本不惩罚。这个性质与L2的平方项有关系，即越大的数，其平方越大，越小的数，比如小于1的数，其平方反而越小。
2.从贝叶斯推导的角度看，我们可以认为式（4）中的第二项为参数w的一个均值为0的高斯先验分布，即，w~N(0,b2)。这也符合我们对于参数w的先验认知：w的绝对值不是很大。
3.从性质2可知，既然w的先验分布服从高斯分布，那么L2正则化的作用实际上就是使得参数向量w的大部分分量的值趋近于0，而不是等于0。这一点在处理具有共线性特征的特征集时非常重要，也是L2在这种情况下胜过L1的原因。
4.由于式（4）是个凸函数，并且函数可微，因此w的值具有解析解：
从解的解析表达式可以看出，w的求解不需要对X-1是否存在作任何假设，因为I为单位矩阵，因此解析式中的逆始终存在。
接下来我们看看L1正则化。
随着海量数据处理的兴起，工程上对于模型稀疏化的要求也随之出现了。这时候，L2正则化已经不能满足需求，因为它只是使得模型的参数值趋近于0，而不是等于0，这样就无法丢掉模型里的任何一个特征，因此无法做到稀疏化。这时，L1的作用随之显现。L1正则化的作用是使得大部分模型参数的值等于0，这样一来，当模型训练好后，这些权值等于0的特征可以省去，从而达到稀疏化的目的，也节省了存储的空间，因为在计算时，值为0的特征都可以不用存储了。
（5）
式（5）为L1正则化的linear regression，也叫lasso regression。式中||w||1为w的1范式，即 。
同样，我们来看看L1正则化的性质。
1.从式（5）中可以看出，L1正则化对于所有权重予以同样的惩罚，也就是说，不管模型参数的大小，对它们都施加同等力度的惩罚，因此，较小的权重在被惩罚后，就会变成0。因此，在经过L1正则化后，大量模型参数的值变为0或趋近于0，当然也有一部分参数的值飙得很高（这一点在性质2解释）。由于大量模型参数变为0，这些参数就不会出现在最终的模型中，因此达到了稀疏化的作用，这也说明了L1正则化自带特征选择的功能，这一点十分有用。
2.从贝叶斯推导的角度看，我们可以认为式（5）中的第二项为参数w的一个均值为0的拉普拉斯先验分布。从高斯概率密度函数和拉普拉斯概率密度函数的图形中可以看出，拉普拉斯概率密度函数的截尾比高斯概率密度函数的截尾更长，也就是说L1正则化更能够接受绝对值较大的参数值。
3.从性质2可知，既然拉普拉斯分布比高斯分布有更长的截尾，那么可以推知L1正则化的鲁棒性要好于L2正则化，也就是说，L1正则化对于绝对值较大的参数没有L2正则化那么敏感，从而能够容忍一些这样的参数留下。
4.由1范式的定义可知，L1正则化在任意权值为0的时候不可导，因此式（5）不能求出w的解析解，同时，基于梯度的优化算法也无法高效地计算出w的值，因此对于L1正则化，一般可以采取坐标下降法求解。
L1正则化和L2正则化在实际应用中的比较。
L1在确实需要稀疏化模型的场景下，才能发挥很好的作用并且效果远胜于L2。在模型特征个数远大于训练样本数的情况下，如果我们事先知道模型的特征中只有少量相关特征（即参数值不为0），并且相关特征的个数少于训练样本数，那么L1的效果远好于L2。比如在文本分类中，如果我们将一篇文章的所有词语作为它的特征，那么很显然，其中绝大部分特征是无关特征，只有很少量的特征是相关特征。这时，如果我们将每篇文章作为训练样本，直接扔进L1正则化的模型，那么可以通过L1的稀疏化性质去掉无关特征，只留下相关特征。从而L1在这里起到了特征选择的作用，也就省去了特征工程这一步，因为特征工程往往还是需要人工干预的，L1的做法则直接让数据说话，避免人工干预。然而，如果模型的特征服从高斯分布，那么从贝叶斯的观点来看，即便特征数远超训练样本数，L2也要优于L1。
然而，需要注意的是，当相关特征数远大于训练样本数时，无论是L1还是L2，都无法取得很好的效果。
从上面的观点可以看出，L1似乎总是好于L2，那么L2还有什么存在的价值呢？然而在实际工程中，L1不总是像万金油一样，随处可用。对于上面文本分类的例子，结合我实际的工程经验谈谈L1的弊端。
在最开始做文本分类的时候，我也是依然毫不犹豫地选择了L1来做特征选择，以此训练出分类模型，但得到的分类模型效果却不尽如人意，训练误差和泛化误差都较高。后来经过分析得知，在进行模型训练时，没有对数据的特征作分析，而盲目地运用L1正则化，从而导致失败。在经过分析后发现，训练数据里的特征很多是共线性的，比方说，有几个特征的共线性很高，并且它们对于分类都很重要，这时L1的做法是随机选择其中一个特征，而扔掉其它的特征。试想，如果训练数据中有很多这样类似的特征，那么经过L1正则化后的模型将会失去很多有用的特征，进而导致模型误差较大。这个时候，我们不得不选择L2正则化了，但由于L2正则化在面对大量无关特征并且特征不是由高斯分布产生时，误差依然很大，因此我们需要在训练模型之前，先进行特征选择，然后再用L2正则化，L2正则化的特点是，在面对几个存在共线性的特征时，它会将权值平分给这些特征，从而使得这些有用的特征都得以留下，从而改进了文本分类的准确率。
也许读者认为，加入了特征工程的L2正则化稍显麻烦，确实是这样的。实践中也可以采取L1+L2结合的方式，即elastic net。这种方式同时兼顾特征选择（L1）和权重衰减（L2）。其公式如下
（6）
上式中，t为正则项与L(w)之间的Trade-off系数，和之前的描述一致，p是elastic net里独有的参数，它是L1和L2之间的一个Trade-off，如果p为0，那么上式退化为L2正则化，如果p为1，那么上式退化为L1正则化。所以当p取值为0到1时（不包含端点），上式兼顾了L1和L2的特点。又由于L1为1范式，L2为2范式，那么elastic net就介于1范式和2范式之间。
关于elastic net的详细内容将不在本文描述。